Clasificacion de los grupos finitos simples

Pierre de Fermat escribió en el margen de su copia del libro Arithmetica de Diofanto, traducido por Claude Gaspar Bachet, en el problema que trata sobre la división de un cuadrado como suma de dos cuadrados (“c” al cuadrado igual a “a” al cuadrado más “b” al cuadrado):

Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla.

Este enunciado de Pierre de Fermat (1601-1665) se convertiría en uno de los teoremas más famosos de toda la matemática.

Aunque su veracidad es fácil de intuir, se tardaron varios siglos en encontrar esa demostración que Fermat no quiso o no pudo publicar en el angosto margen de una hoja de papel. Hasta finales del siglo XX no pudo resolverse uno de los teoremas más simples al tiempo que difíciles de demostrar de todas las matemáticas. A pesar de que durante siglos hubo cientos de personas dedicadas a resolver ese misterio, denominado el último teorema de Fermat.

Aunque Fermat era un genio, no hace falta serlo para darse cuenta de que la maravillosa demostración por él encontrada tuvo que ser errónea. En el siglo XVII la matemática no era muy rigurosa en la parte que se dedica a las pruebas, centrándose en los enunciados y los resultados.

No tan conocido como el de Fermat, uno de los teoremas más importantes descubiertos a finales del siglo XX es el de la clasificación de los grupos finitos simples. Más conocido como el teorema enorme.

Lo que tendría que haber supuesto un hito en la matemática moderna, no consiguió sin embargo llamar la atención de los medios de comunicación, e incluso hubo muchos que se mostraron escépticos ante su resultado. La razón no es otra que la misteriosa y controvertida naturaleza de su prueba. La prueba transcurre a lo largo de más de 10.000 páginas, dispersas en unas 500 publicaciones y artículos científicos, con unos 100 autores diferentes de todo el mundo, [Publicados entre 1955 y 1983]. No tiene un precedente igual y puede ser catalogada como la [demostración matemática] más larga de la historia.

Si Fermat enunció un teorema sencillo cuya prueba costó siglos en ser encontrada, aquí nos encontramos justo con lo contrario: una prueba tan grande y complicada que cuesta entender si el teorema es realmente cierto o no.

Si en el primer caso la dificultad radica en encontrar la prueba, en este otro, el mayor problema está en aceptar la prueba como válida. Al tratarse de una clasificación de un conjunto (el de los grupos finitos simples), basta con indicar las posibles categorías, todas las que existen.

Cuando el teorema fue publicado en 1981, se suponía que quedaban cerrados todos los posibles grupos finitos simples. La forma de realizar la clasificación fue dividir los grupos en categorías y estas sucesivamente en subcategorías, hasta recoger todos los casos posibles. El problema de este método es que nadie tiene una visión de conjunto del resultado. Si un equipo de investigadores no hace bien su trabajo, una de las subcategorías no queda catalogada con rigor y entonces no se tiene una clasificación rigurosa.

Lo que parece un error impensable en matemática moderna no lo es, ni mucho menos. Pronto se descubrió que había un subgrupo (el de los grupos Quasi-thin) que no había quedado recogido satisfactoriamente. El organizador de todo el proyecto, Daniel Gorenstein, se defendió argumentando que “pensaba que ese caso ya había sido completado”.

Este despiste demuestra hasta qué punto la demostración es difícil de abarcar, que el mayor conocedor del proyecto no sabía que uno de los casos más importantes no había sido comprobado. Sería el trabajo de Aschbacher y Smith el que cerraría esta fractura, no antes de 2004, con otro artículo científico que incluir a la ya peligrosa lista: 1.200 páginas para clasificar los grupos olvidados, los Quasithin.

Daniel Gorenstein, ya bastante anciano cuando se “completó” la demostración del teorema, siempre tuvo el temor de que tan importante resultado no fuera adecuadamente asimilado por la comunidad científica, y desde muy pronto estuvo preparando el terreno para que otros pudieran encargarse de facilitar su comprensión.

Gorenstein murió en 1992 y entre su legado queda la difícil tarea de hacer el teorema comprensible y el suavizar la demostración lo suficientemente como para que otra persona pueda atreverse a afirmar que realmente demuestra que sólo existen esos grupos finitos simples.

Hay matemáticos escépticos que dudan sobre el resultado. Jean-Pierre Serre(pdf) es uno de ellos. Para él lo que resultaba inconcebible es que el error con los grupos quasi-thin no fuera asumido por nadie. Gorenstein hablaba más de un despiste o algo que no está bien explicado del todo. Esta actitud desarma a cualquiera: la madre de todas las ciencias (la Filosofía sería la abuela) y resulta que los teoremas tienen pequeñas deficiencias que tardan casi 20 años en ser reparadas.

El objetivo ante este Teorema es simplificar la demostración. En las más de 15.000 páginas de su demostración, hay numerosos lemas y presunciones que cada grupo de investigadores tuvo que probar por separado. Se sabe que existen numerosas redundancias y procedimientos descubiertos casi al final de la investigación que habrían simplificado mucho la exposición de los primeros resultados. A pesar del volumen, no hay un exceso de optimismo. Todo un equipo de matemáticos de primer nivel tratando de simplificar una demostración de 15.000 páginas para dejarla en la mitad.

No dejan de ser 7.000 páginas, 10 Quijotes seguidos – primera y segunda parte – para demostrar una única cosa.

Vía: El blog de Seth Roberts.